火星方阵

用手抛硬币看似具有不可预测性，但竟然有研究发现如果硬币一开始是正面，那最后有51%的可能性硬币会落在同一面，而不是反面。

抛硬币的最早记载可追溯至罗马时期，当时人们认为抛出正面或反面的机率为神性意志的展现。虽然直至今日已经没有那么严肃，但抛硬币仍被认为是做决定或解决争端的公平方式。而且在某些体育赛事中，抛硬币用于决定队伍的进攻方向，或者在平局时选出获胜者。但抛硬币究竟有多随机呢？曾为职业魔术师的佩尔西‧戴康尼斯（PersiDiaconis）后来成为了史丹佛大学的数学和统计学家，他对这个问题的答案就很感兴趣。

2007年，戴康尼斯和来自史丹佛与加利福尼亚大学圣克鲁兹分校的研究伙伴们进行了实验，包括抛掷一枚系着丝带的硬币，由解开硬币上的丝带来确定硬币旋转的次数。为了消除抛硬币过程中不希望出现的人为变数，抛硬币的初始条件必须一致，因此他们委托哈佛大学制作抛硬币机来进行实验。此外，他们还使用高速摄像机捕捉每次抛硬币的慢动作照片，以精确的角度测量硬币的翻转方向。

进动（或者说旋进）硬币的坐标

结果发现，当初始条件完全相同时，抛硬币能产生相同的结果，这意味着抛硬币的随机性很可能是由于每个人的抛掷方式不同（抛掷的速度和高度、接硬币时的角度和翻转程度等等）所造成。尽管用手抛硬币看似具有不可预测性，但仍然存在固有的偏差：如果硬币一开始是正面，那么最后有51%的可能性硬币会落在同一面，而不是反面。也就是说，原本应该是一半一半的几率产生了偏差，变成了51%对49%。

由ω的各种初始值定义的双曲线

偏差的幅度取决于一件事：硬币的垂直向量与角动量向量之间的“角度A”（在抛硬币的过程中都不会改变）。他们观察真人大量硬币的结果，并借助高速摄像机测量角度A的分布，证明了抛硬币的偏差至少为1%。如果加以运用这种偏差，魔术师和赌徒是有能力操控抛硬币的结果。因此在足球比赛开球抛硬币选边时，硬币不得用手接住，而是让硬币自然落至地面。

拆开解读之后的法线向量如何在3-D中呈现一个圆

这项研究得出的结论是，经典的抛硬币假设已然成立，即抛硬币结果为正面或反面的统计学几率为二分之一。因此，为了提高抛硬币的公平性，应该尽可能让初始条件变得随机，例如让硬币从口袋里抛出来，或是在抛硬币前用双手盖住摇晃才抛掷。此外，不是抛硬币的人应该在硬币还在空中时就选择正面或反面，如此一来抛硬币的人就不能用朝对自己有利的方式抛掷。